Олимпиадные задания по математике
Олимпиадные задания по математике, физике, информатике и химии с решением и ответами

На главную страницу

Олимпиада по математике
Олимпиада по физике

Олимпиада по информатике
Олимпиада по русскому

Олимпиада по литературе

Олимпиадные задания по математике с ответами

Олимпиадные задания по математике

Олимпиадные задания по математике 9, 10, 11 класс

Олимпиадные задания по математике 9 класс

1.

Корень из числа 49 можно извлечь по такой «формуле»: (Корень 49) = 4 + (Корень 9).
Существуют ли другие двузначные числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным образом и являются целыми? Укажите все такие двузначные числа.

2.

ABC – равнобедренный треугольник с вершиной А. угол А=27°.
Точка D симметрична точке В относительно А.
Чему равен угол BCD

3.

Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?
Про числа aи b известно, что a = b+ 1. Может ли оказаться так, что a⁴ = b⁴?

4.

Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 x 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 x 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?

Олимпиадные задачи по математике 10 класс

1.

Постройте эскиз графика функции:

.

2.

Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения

положительны.

3.

Общая хорда двух пересекающихся окружностей служит для одной из них стороной правильного вписанного четырехугольника, а для другой стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей окружности равен 10 см?

4.

М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?
Ответ. Хватит.

5.

Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого в 10 раз больше числа его сторон?

Олимпиадные задачи по математике 11 класс

1.

Найдите такое натуральное число k, что 2008! делится на 2007^k, но не делится на 2008^k.
(Напомним, чтоn! = 1·2·3·4·… ·n).

2.

Может ли вершина параболы y = 4x² – 4(a + 1)x + a лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?

3.

(an) – арифметическая прогрессия с разностью 1. Известно, что S₂₀₀₈ - наименьшая среди всех S_n (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n). Какие значения может принимать первый член прогрессии?

4.

Внутри равностороннего треугольника со стороной 8 находится равнобедренный треугольник АВС, в котором АС = ВС = 1, ?С=120°. Две вершины А и В могут лежать либо на одной стороне большого треугольника, либо на двух. Где при этом может оказаться вершина тупого угла – точка С? Нарисуйте это геометрическое место точек и найдите длину соответствующей линии.

5.

Клетчатая прямоугольная сетка m x n связана из веревочек единичной длины. Двое делают ходы по очереди. За один ход можно разрезать (посередине) не разрезанную ранее единичную веревочку. Если не останется ни одного замкнутого веревочного контура, то игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Кто из игроков победит при правильной игре и как он должен для этого играть?